【导数求导公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数求导公式，有助于快速计算函数的导数，提高解题效率。本文将总结常用的导数公式，并以表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本导数公式
以下是一些常见函数的导数公式，适用于初等数学与高等数学中的基础运算：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的运算法则
除了基本函数的导数外，还需要掌握一些常见的导数运算法则，用于处理复合函数、乘积、商等形式：
| 运算类型 | 公式 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数求导
对于高阶导数，通常是对原函数连续求导；而隐函数求导则需要通过两边对变量求导后解出导数表达式。
例如：
- 若 $ y = x^3 $，则 $ y'' = 6x $
- 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则对两边求导得：
$ 2x + 2y \cdot y' = 0 $，解得 $ y' = -\frac{x}{y} $
四、小结
导数是数学分析中的核心概念之一，掌握其基本公式和运算法则，不仅有助于理解函数的变化趋势，还能为后续的积分、极值问题打下坚实基础。建议结合实际例题反复练习，加深对公式的理解和应用能力。
如需进一步了解导数在实际问题中的应用，可参考相关教材或在线资源进行深入学习。