问sin90 特殊角三角函数推导详解

sin90 也就是 sin90 度，最终结果等于 1，它是三角函数里面非常关键的特殊角，这个角度不属于普通锐角，终边落在 y 轴正半轴，已经超出直角三角形锐角定义的范围，所以要用单位圆定义来理解，不能继续套用普通锐角直角三角形对边比斜边的思路，90 度角从 x 轴正半轴逆时针旋转 90 度，终边和单位圆交点坐标是 0，1，正弦值取这个交点的纵坐标，纵坐标就是 1，所以 sin90 度等于 1，这个数值是大量诱导公式二倍角公式三倍角公式里面经常用到的基准值，前面学习 sin30 sin60 的时候是锐角，sin90 属于边界特殊角，很多同学会疑惑为什么没有对边斜边，核心原因就是直角三角形里面两个锐角相加才是 90 度，单个角等于 90 度的时候三角形就退化了，必须切换成单位圆定义，同时要记住和它配套的 cos90 度等于 0，tan90 度没有意义，这个组合是考试高频考点。

核心定义原理

单位圆定义，圆心在坐标原点，半径等于 1，任意角 θ 终边和单位圆交点坐标是 x，y

sinθ = y

cosθ = x

tanθ = y 除以 x

90 度角终边向上垂直，指向 y 轴正半轴，交点横坐标是 0，纵坐标是 1，所以 sin90 度等于纵坐标 1，cos90 度等于横坐标 0，tan90 度是 1 除以 0，分母为零，不存在也就是无定义。

方法一 单位圆坐标推导

第一步 画出平面直角坐标系，绘制半径等于 1 的单位圆

第二步 从 x 轴正半轴逆时针旋转 90 度，画出角的终边，终边和 y 轴正半轴重合

第三步 找到终边与单位圆交点，坐标为 0，1

第四步 根据正弦定义，sin90 度等于交点纵坐标 y，y 等于 1，得到 sin90 度等于 1

方法二 极限思想推导

我们可以把接近 90 度的锐角放在直角三角形里面，角度不断变大靠近 90 度，这个时候对边长度不断接近斜边长度，对边除以斜边这个比值无限趋近 1，当角度正好等于 90 度，比值极限就是 1，这个推导可以辅助理解，但是正式做题还是以单位圆定义为准。

方法三 和角公式验算

把 90 度拆成 45 度加 45 度，使用正弦和角公式

sin (A+B)=sinA cosB + cosA sinB

sin90 度 = sin (45 度 + 45 度)=sin45 度 cos45 度 + cos45 度 sin45 度

代入 sin45 度等于二分之根号二，cos45 度等于二分之根号二

等于二分之根号二乘二分之根号二 加上 二分之根号二乘二分之根号二

等于二分之一加二分之一

等于 1

计算结果和单位圆推导保持一致

特殊角对照表

诱导公式拓展关联

sin (90 度减 α)=cosα

sin (90 度加 α)=cosα

sin270 度等于负 sin90 度等于负 1，这个就是之前学习过的转换关系

正弦函数最大值就是 1，这个最大值就在 90 度 90 度加 360 度这类位置取得，所以 sin90 度也是正弦函数的峰值点

易错点提醒

1 不要继续用普通直角三角形锐角定义强行解释 sin90 度，90 度已经不是锐角，直角三角形不能存在单个 90 度锐角

2 区分 sin90 等于 1，cos90 等于 0，不要写反

3 tan90 度分母是 0，没有意义，不要强行算出数值

4 如果题目写 sin90 没有标注度，中学默认是 sin90 度等于 1，如果是 sin90 弧度，结果完全不一样，不能套用这个特殊角数值

5 正弦周期是 360 度，sin (90 度 + k 乘 360 度) 全部等于 1，k 是整数

总结

sin90 度依靠单位圆定义得到结果等于 1，也可以用 45 度加 45 度的和角公式验算，这个角是正弦函数最大值点，配套 cos90 度等于 0，tan90 度无定义，是三角恒等变换里面非常重要的基准特殊角。

【常见问题】

问题 1 sin90 为什么不能用直角三角形对边比斜边计算

回答 1 sin90 因为 90 度已经不是锐角，直角三角形两个锐角之和才等于 90 度，单个角等于 90 度三角形会退化，所以 sin90 需要使用单位圆定义，最终 sin90 等于 1。

问题 2 sin90 tan90 为什么没有意义

回答 2 sin90 等于 1，但是 tan90 等于 sin90 除以 cos90，cos90 等于 0，分母为零，所以 tan90 没有意义，这是和 sin90 配套的重要考点。

问题 3 sin90 是不是正弦函数最大值

回答 3 sin90 是正弦函数的最大值，正弦函数取值范围是负 1 到 1，在 90 度加上整数倍 360 度的时候，sin90 这类位置取得最大值 1。

问题 4 sin90 弧度制和角度制结果一样吗

回答 4 sin90 中学题目默认是 sin90 度等于 1，如果是 sin90 弧度，不能使用这个特殊角结果，数值需要单独计算，不要混淆 sin90 的单位。

【免责申明】

本文属于中学三角函数基础教学内容，按照标准单位圆定义与三角恒等变换规则推导，若涉及竞赛或者高等数学拓展定义请以正式教材为准，本文不替代课堂教学。